たいていのレンタルサーバーはPHPバージョンの自動アップデートはしてくれず、サーバーを使用し始めた時期のバージョンを維持する設定になっているようです。

WordPressのPHP5系サポートは2018年末で終了しましたので、現在、PHP5系のままの方は、PHP7系へ切り替える必要があります。

現在使用しているPHPバージョンはレンタルサーバーのサポートページや管理画面等でご確認下さい。

私はロリポップ!を使用しているのですが、下記に従い作業をしたら、簡単にWordPressのバージョンをアップできました。

ついでに、更新すべきWordPressプラグインがあるかどうかもチェックしましょう。